Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

a. Rumus untuk cos(a + b)

     Perhatikan Gambar

Dari gambar diperoleh OC = OB = OA = OD = r koordinat titik

A = (r,0),

B =  (rcosa, rsina) ,

C = (rcos(a + b) , rsin(a + b)), dan

D = (rcos b, rsin(- b )

Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, diperoleh
d ² _AB = (AB)² = (x_B - x _A)² + (y_B - y _A)²

AC² = DB²
2r ² - 2r ² cos(a + b) = 2r ² + 2r ² sina sin b - 2r ² cosa cosb
- 2r ² cos(a + b)        = -2r ²(cosa cosb - sina sin b)

Sehingga didapat
(AC)² = [(r cos(a + b))- r]² +((r sin(a + b))- 0)²
(AC)² = r ² cos ²(a + b)- 2r ² cos(a + b)+ r ² + r ² sin ²(a + b)
(AC)² = r ²[cos ²(a + b)+ sin ²(a + b)]- 2r ² cos(a + b)+ r ²
(AC)² = r ² ×1+ r ² - 2r ² cos(a + b)
(AC)² = 2r ² - 2r ² cos(a + b)
Dan
(DB)² = (r cosa - r cos b)² + (r sina + r sin b)²
(DB)² = r ² cos ² a - 2r ² cosa cos b + r ² cos ² b + r ² sin ² a + 2r² sina sinb +r² sin² b
(DB)² = r ²(cos ² a + sin ² a)+ r ²(cos ² b + sin ² b) + 2r² sina sinb - 2r² cosa cosb
(DB)² = r ² + r ² + 2r ² sina sin b - 2r ² cosa cos b
(DB)² = 2r ² + 2r ² sina sin b - 2r ² cosa cos b

Karena segitiga OCA dan segitiga ODB kongruen, maka
AC² = DB²
2r ² - 2r ² cos(a + b) = 2r ² + 2r ² sina sin b - 2r ² cosa cosb

Sehingga didapat  Rumus :