2. PERMUTASI

PERMUTASI :

Permutasi adalah banyaknya cara untuk menyusun n unsur yang berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur yang diulang dari unsur unsur tersebut.

A.    PERMUTASI DARI UNSUR YANG BERBEDA

Perhatikan !

Budi akan menyusun bilangan 2 angka yang berbeda   dari angka 1,2,3,4  

Maka susunannya : 12,13,1,4, 21,23,2,4, 31,32,34, 41,42,43

Atau :

Maka untuk susunan k unsur tanpa ada unsur yang diulang yang diambil dari n unsur yang berbeda dengan r ≤ n disebut permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia, dan dinotasikan :

Contoh: 

1.      Rido mempunyai angka;  1,3,4,5,6,7,9  ia akan membentuk bilangan yang terdiri dari 3 angka yang berbeda. Tentukan banyaknya susuna yang mungkin !

Alternatif penyelesaian :

n = 7

k = 3          

jadi banyaknya susunan bilangan yang mungkin ada 840 susunan

2.      Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk dari hurup MATE

Penyelesaian :

n= 4

n =4

jadi banyaknya kata yang mungkin ada 24 susunan

B. PERMUTASI YANG MEMUAT BEBERAPA UNSUR YANG SAMA

Perhatikan :

Berapa kata yang dapat disusun dari kata INI ?

Jawab : Jika digunakan rumus permutasi dengan n =3 dan r = 3 maka

Tetapi sebenarnya kata yang dibentuk hanya ada 3 yaitu INI, IIN, NII

Ini terjadi karena ada huruf yang sama yaitu I

Maka penyelesaiannya :  

Sehingga untuk permutasi n unsur yang memuat k₁ unsur yang sama, k₂ unsur yang sama  ...hingga k_n dan k_{1 +} k_{2 + ....} k_n = n maka dirumuskan :

Contoh : Tentukan banyaknya susunan hurup dari kata  KATAK

Jawab : n= 5

              K₁ = 2 yaitu K

              K₂ = 2 yaitu A

C.    PERMUTASI SIKLIS

Permutasi siklis dari n unsur yang tersedia yaitu memperhitungkan tempat kedudukan pada lingkaran atau tempat kedudukan secara melingkar.

Perhatikan :

a)      Jika Budi dan Doni  duduk secara melingkar 

b) Jika Ani, Budi dan Cici  duduk secara melingkar

Untuk tiga orang ada 2 kemungkinan , Maka secara umum jika ada n unsur yang berbeda dan disusun secara siklis / melingkar maka banyaknya susunan yang terjadi adalah :

contoh :

Adi, Budi, Caca, Deni dan Eki akan duduk secara melingkar. Maka banyaknya susunan temapat duduk adalah : (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 susunan.

D.    PERMUTASI BERULANG

Dari huruf A, D, I akan disusun 2 huruf  dan boleh mengandung unsur yang sama maka susunanya adalah :

AA, AD, AI, DA, DI, DD, IA, ID , II  

Untuk 3 hurup menjadi 2 huruf dan boleh berulang ada 9 susunan

Maka banyaknya kemungkinan r unsur dari n unsur yang tersedia dan boleh berulang  adalah : 

Contoh : Tentukan banyaknya susunan3 hurup dari kata MURID dan hurup boleh                            berulang

Jawab : n = 5  dan r = 3 boleh berulang